| | vorgegebene Lösung falsch? < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Mo 05.11.2012 | | Autor: | betina |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Betragsungleichung ||x-5| -3 | [mm] \le [/mm] 4. |
Hallo
dieses mal muss ich ne verschachtelte Betragsungleichung lösen. Aber wie ich eure bisherigen Erklärungen verstanden habe, und ich diese auf diese Betragsungleichung beziehe, müsste die vorgegebene Lösungen zu einem
Fall falsch sein..
Es geht um den Fall, in dem das positiv ist x-5 [mm] \ge [/mm] 0 daraus folgt x [mm] \ge [/mm] 5
|x-5-3| [mm] \le [/mm] 4
|x-8| [mm] \le [/mm] 4
und x-8 negativ ist.
x-8 < 0
Daraus folgt x < 8
Erhalte also die 2 Bedingungen
1. Bedingung x [mm] \ge [/mm] 5
2. bedingung x < 8
Der Intervallbereich lautet also x [mm] \in [/mm] [5,8)
Frage ob das Ergebnis diese zwei Bedingungen erfüllt.
|x - 8 | [mm] \le [/mm] 4
-(x - 8) [mm] \le [/mm] 4
Ergebnis daraus x [mm] \ge [/mm] 4
Frage erfüllt das Ergebnis x [mm] \ge [/mm] 4 die Bedingungen x [mm] \in [/mm] [5,8)
Keine Lösung vorhanden da x [mm] \ge [/mm] 4 sich nicht in dem Intervall von x [mm] \in [/mm] [5,8) befindet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Mo 05.11.2012 | | Autor: | betina |
Ich habe euch hier nochmal aufgezeichnet wie ich das verstanden habe
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo betina,
hier geht es doch nur darum, ob es x gibt, die alle Bedingungen erfüllen.
> Berechnen Sie die Betragsungleichung ||x-5| -3 | [mm]\le[/mm] 4.
> Hallo
>
> dieses mal muss ich ne verschachtelte Betragsungleichung
> lösen. Aber wie ich eure bisherigen Erklärungen
> verstanden habe, und ich diese auf diese Betragsungleichung
> beziehe, müsste die vorgegebene Lösungen zu einem
> Fall falsch sein..
Das sieht nicht so aus.
> Es geht um den Fall, in dem das positiv ist x-5 [mm]\ge[/mm] 0
> daraus folgt x [mm]\ge[/mm] 5
> |x-5-3| [mm]\le[/mm] 4
> |x-8| [mm]\le[/mm] 4
>
> und x-8 negativ ist.
> x-8 < 0
> Daraus folgt x < 8
>
> Erhalte also die 2 Bedingungen
> 1. Bedingung x [mm]\ge[/mm] 5
> 2. bedingung x < 8
> Der Intervallbereich lautet also x [mm]\in[/mm] [5,8)
Soweit ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Frage ob das Ergebnis diese zwei Bedingungen erfüllt.
> |x - 8 | [mm]\le[/mm] 4
> -(x - 8) [mm]\le[/mm] 4
> Ergebnis daraus x [mm]\ge[/mm] 4
Stimmt auch.
> Frage erfüllt das Ergebnis x [mm]\ge[/mm] 4 die Bedingungen x [mm]\in[/mm]
> [5,8)
> Keine Lösung vorhanden da x [mm]\ge[/mm] 4 sich nicht in dem
> Intervall von x [mm]\in[/mm] [5,8) befindet.
Und das ist jetzt Quatsch.
Dass die 4 nicht im ermittelten Intervall liegt, ist hier egal. Du musst die Schnittmenge der beiden Intervalle
1) [mm] $5\le [/mm] x<8$ entsprechend $[5;8)$ und
2) [mm] x\ge{4} [/mm] entsprechend [mm] [4;\infty)
[/mm]
ermitteln.
Für alle x in der Schnittmenge ist die ursprüngliche geschachtelte Ungleichung erfüllt.
Was ist nun die Schnittmenge?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 05.11.2012 | | Autor: | betina |
Hallo reverend
Schnittmenge
könnte die Antwort zu deine Frage diese lauten
[4,8) ?
Wenn nicht dann verzeihe mir
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Hallo nochmal,
die Antwort lautet: nein.
> Schnittmenge
>
> könnte die Antwort zu deine Frage diese lauten
>
> [4,8) ?
Wenn man die beiden Bedingungen zusammen nimmt, kann man sie wie folgt umordnen:
a) x muss [mm] \ge{4} [/mm] und [mm] \ge{5} [/mm] sein, also [mm] x\ge 5\ge{4}.
[/mm]
Fazit: [mm] $x\ge{5}$.
[/mm]
b) x muss $<8$ und [mm] <\infty [/mm] sein, also [mm] x<8<\infty.
[/mm]
Fazit: $x<8$.
Insgesamt also [mm] $5\le [/mm] x<8$.
Die Schnittmenge der beiden Bedingungen ist also [mm] [\blue{5};8) [/mm] und die Lösungsmenge für den untersuchten Fall.
edit: oops. Wie konnte das passieren? Jetzt ist es richtig! Dank an Marcel!
Grüße
reverend
> Wenn nicht dann verzeihe mir
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:19 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo nochmal,
>
> die Antwort lautet: nein.
>
> > Schnittmenge
> >
> > könnte die Antwort zu deine Frage diese lauten
> >
> > [4,8) ?
>
> Wenn man die beiden Bedingungen zusammen nimmt, kann man
> sie wie folgt umordnen:
>
> a) x muss [mm]\ge{4}[/mm] und [mm]\ge{5}[/mm] sein, also [mm]x\ge 5\ge{4}.[/mm]
>
> Fazit: [mm]x\ge{5}[/mm].
> b) x muss [mm]<8[/mm] und [mm]<\infty[/mm] sein, also [mm]x<8<\infty.[/mm]
> Fazit: [mm]x<8[/mm].
>
> Insgesamt also [mm]5\le x<8[/mm].
> Die Schnittmenge der beiden
> Bedingungen ist also [mm][\blue{5};\red{\infty})[/mm] und die
> Lösungsmenge für den untersuchten Fall.
stell' doch bitte die [mm] $8\,$ [/mm] wieder auf, die Dir umgefallen ist. 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo reverend
>
> Schnittmenge
>
> könnte die Antwort zu deine Frage diese lauten
>
> [4,8) ?
nur, damit es nochmal klar wird:
Was ist $[5,8) [mm] \cap [4,\infty)$?
[/mm]
P.S. Reverend hat doch glatt aus Versehen die [mm] $8\,$ [/mm] umfallen lassen...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Ungleichung ||x-5| -3 | $ [mm] \le [/mm] $ 4 kann man ohne Fallunterscheidung lösen, wenn man beachtet, dass für a [mm] \in \IR [/mm] und b [mm] \ge [/mm] 0 gilt:
|a| [mm] \le [/mm] b [mm] \gdw [/mm] -b [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b.
Also:
||x-5| -3 | $ [mm] \le [/mm] $ 4 [mm] \gdw [/mm] -4 [mm] \le [/mm] |x-5|-3 [mm] \le [/mm] 4 [mm] \gdw [/mm] -1 [mm] \le [/mm] |x-5| [mm] \le [/mm] 7 [mm] \gdw [/mm] |x-5| [mm] \le [/mm] 7 [mm] \gdw [/mm] -7 [mm] \le [/mm] x-5 [mm] \le [/mm] 7 [mm] \gdw [/mm] -2 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 12.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Die Ungleichung ||x-5| -3 | [mm]\le[/mm] 4 kann man ohne
> Fallunterscheidung lösen, wenn man beachtet, dass für a
> [mm]\in \IR[/mm] und b [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
>
> |a| [mm]\le[/mm] b [mm]\gdw[/mm] -b [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] b.
eigentlich stecken rechterhand des [mm] $\gdw$ [/mm] dann aber doch zwei Fälle
drinne.
Nichtsdestotrotz: Sehr elegant und vor allem übersichtlich(er)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 06.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Marcel,
>
> > Die Ungleichung ||x-5| -3 | [mm]\le[/mm] 4 kann man ohne
> > Fallunterscheidung lösen, wenn man beachtet, dass für a
> > [mm]\in \IR[/mm] und b [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
> >
> > |a| [mm]\le[/mm] b [mm]\gdw[/mm] -b [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] b.
>
> eigentlich stecken rechterhand des [mm]\gdw[/mm] dann aber doch zwei
> Fälle
> drinne.
Dies sind nicht zwei Fälle, sondern zwei Ungleichungen ohne Betragsstriche, deren Konjunktion äquivalent zur einer Ungleichung mit Betragsstrichen sind. Und es ist diese Elimination der Betragsstriche, die die Rechnungen vereinfachen.
Ich plädiere daher dafür, von vornherein den Betrag $|a|$ als Maximum von $-a$ und $a$ zu definieren. Dann vermeidet schon die Definition die Fallunterscheidung und man kann gar nicht anders als
$|a| [mm] \le [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a [mm] \le$ [/mm] b und $-a [mm] \le [/mm] b$
zu schreiben.
Für diese Aufgabe komme ich dann natürlich zu einer sehr ähnlichen Folge äquivalenter Ungleichungen wie FRED:
[mm] $\bigl| [/mm] |x-5| - [mm] 3\bigr| \le 4\gdw [/mm] |x-5|-3 [mm] \le [/mm] 4$ und $3 - |x-5| [mm] \le [/mm] 4$
[mm] $\gdw [/mm] |x-5| [mm] \le [/mm] 7$ und $-|x-5| [mm] \le [/mm] 1$
[mm] $\gdw [/mm] x-5 [mm] \le [/mm] 7 $ und $5-x [mm] \le [/mm] 7$ (Die zweite Ungleichung oben fällt weg, da stets wahr)
[mm] $\gdw [/mm] x [mm] \le [/mm] 12$ und $-2 [mm] \le [/mm] x$.
liebe Grüße,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> >
> > > Die Ungleichung ||x-5| -3 | [mm]\le[/mm] 4 kann man ohne
> > > Fallunterscheidung lösen, wenn man beachtet, dass für a
> > > [mm]\in \IR[/mm] und b [mm]\ge[/mm] 0 gilt:
> > >
> > > |a| [mm]\le[/mm] b [mm]\gdw[/mm] -b [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] b.
> >
> > eigentlich stecken rechterhand des [mm]\gdw[/mm] dann aber doch zwei
> > Fälle
> > drinne.
>
> Dies sind nicht zwei Fälle, sondern zwei Ungleichungen
> ohne Betragsstriche,
ja, da hast Du strenggenommen recht, aber ich meinte es in dem folgenden
Sinne:
$$|a| [mm] \le \varepsilon \gdw -\varepsilon \le [/mm] a [mm] \le \varepsilon\,,$$
[/mm]
denn:
1. Fall: Sei $a [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann...
oder
2. Fall: Sei $a [mm] \le 0\,.$ [/mm] Dann...
> Ich plädiere daher dafür, von vornherein den Betrag $ |a| $ als Maximum
> von $ -a $ und $ a $ zu definieren. Dann vermeidet schon die Definition
> die Fallunterscheidung und man kann gar nicht anders als
> $ |a| [mm] \le [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a [mm] \le [/mm] $ b und $ -a [mm] \le [/mm] b $
> zu schreiben.
Gute Idee. Dann hat man auch nicht "indirekt" die beiden Fälle wie oben...
Gruß,
Marcel
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